Matematik, öğrenciler için korkutucu bir damgalanma olur , ne kadar sık matematiği keşfedip pratik yaparsanız, o kadar eğlenceli ve zevkli olacaktır. Yani , şimdi matematiksel tümevarım hakkında daha fazla bilgi için davet edecektir. Matematiksel tümevarım nedir ve ne için kullanılır?
Matematiksel tümevarımın kendisi matematikte bir kanıtlama tekniği olarak yorumlanabilir. Doğal sayılar içeren özel ifadeleri ispatlamak için kullanılır. Bu yöntemi kullanarak ispat genel sonuçlar üretir.
Matematiksel Tümevarıma Giriş
Matematiksel tümevarım kullanarak ispatlamada genel sonuçlar elde edilir. Sonuç elde etmek için kullanılan iki tür akıl yürütme vardır: tümdengelimli akıl yürütme ve tümevarımlı akıl yürütme.
- Tümdengelimli akıl yürütme, genel ifadelerden belirli ifadelere kadar başlayan akıl yürütmedir. Bu yaklaşıma "genel-özel" yaklaşım denir çünkü muhakeme genel şeyle başlar ve daha sonra belirli şeylerle sonuçlanır. Misal; tüm elmalar meyvedir, tüm meyveler ağaçlarda büyür, bu nedenle tüm elmalar ağaçlarda büyür.
- Tümevarımsal akıl yürütme, belirli ifadelerden genel ifadelere kadar uzanan bir muhakemedir. Bu yaklaşıma "genel-özel" yaklaşım denmektedir çünkü ifadeler genel olarak kabul edilmiş sonuçlara varmak için belirli noktalardan oluşmaktadır. Misal; Bir otobüs yolcusu, otobüs sürücüsü fren pedalına her bastığında, otobüsteki tüm yolcuların ileri itileceğini gözlemler.
(Ayrıca şunu okuyun: Matematikte Dönüşüm, Ne Gibi?)
Buna ek olarak, matematiksel tümevarım yöntemi, genel kabul görmesi için özel bir hipotezin doğruluğunu ispatlamak için kullanılabilir. Dolayısıyla bu yöntem, tümevarımsal akıl yürütmede ispat için kullanılır.
Matematiksel Tümevarımın Uygulanması
Matematiksel tümevarımın uygulaması matematiğin çeşitli dallarında bulunabilir. Matematikte düzenlenen hipotezlerin genel kabul görmesi için kanıtlanması gerekir. Bir hipotez, kullanılan tüm sayısal değerler için doğru olduğu kanıtlanırsa genellikle geçerlidir. İşte bu şekilde kanıtlanabilecek bir ifade örneği.
-N tek sayı serilerinin toplamının n2 olduğunu kanıtlayın. Burada n doğal sayıdır.
Çözüm: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2, her n € A için geçerlidir
Temel adım: n = 1 için, P1 = 1 = 12'nin doğru olduğunu anlıyoruz.
Tümevarım adımı: varsayalım n = k, P k doğru N = k + 1 için P (k + 1) = (k + 1) 2'nin doğru olduğu gösterilecektir.
Aşağıdaki adımlara dikkat edin:
N = k için, bu durumda P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 doğrudur.
İki tarafa [2 (k + 1) -1] ekleyerek, sonra
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (kanıtlanmış)
Matematiksel Tümevarımın Prensipleri
P (n) doğal sayıları içeren bir ifade olsun. Matematiksel tümevarım adımlarını takip ederek P (n) ifadesinin tüm n doğal sayıları için doğru olduğu kanıtlanabilir.
İşte bu yöntemi kullanarak ispat için adımlar:
- N = 1 için P (1) 'in veya P (n)' nin doğru olduğunu kanıtlayın.
- P (k) doğruysa, her pozitif tam sayı k için P (k + 1) 'in doğru olduğunu gösterin.
(1) ve (2) adımları doğruysa, P (n) 'nin her n doğal sayısı için doğru olduğu sonucuna varılabilir. Adım 1 temel adım olarak adlandırılırken, adım 2 indüksiyon adımı olarak adlandırılır.
