Mimaride, binaları inşa etmek için matematiksel hesaplamalar vardır, bunlardan biri doğrusal denklem sistemidir. Doğrusal denklem sistemi, kesişme noktalarının koordinatlarını belirlemek için kullanışlıdır. Çizimle eşleşen bir bina üretmek için doğru koordinatlar gereklidir. Bu yazıda, üç değişkenli bir doğrusal denklem sistemini (SPLTV) tartışacağız.
Üç değişkenli doğrusal denklem sistemi, üç değişkenli birkaç doğrusal denklemden oluşur. Üç değişkenli bir doğrusal denklemin genel formu aşağıdaki gibidir.
ax + by + cz = d
a, b, c ve d gerçek sayılardır, ancak a, b ve c'nin tümü 0 olamaz. Denklemin birçok çözümü vardır. Üçüncü değişkenin değerini belirlemek için herhangi bir değeri iki değişkene eşitleyerek bir çözüm elde edilebilir.
(X, y, z) değeri SPLTV'deki üç denklemi karşılıyorsa, bir değer (x, y, z), üç değişkenli bir doğrusal denklem sistemi için çözüm kümesidir. SPLTV yerleşim seti ikame yöntemi ve eleme yöntemi olmak üzere iki şekilde belirlenebilir.
İkame yöntemi
İkame yöntemi, bir değişkenin değerini bir denklemden diğerine değiştirerek doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemidir. Bu yöntem, tüm değişken değerler, üç değişkenli bir doğrusal denklem sisteminde elde edilene kadar gerçekleştirilir.
(Ayrıca şunu okuyun: İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemi)
0 veya 1 katsayısına sahip denklemler içeren SPLTV'de ikame yönteminin kullanımı daha kolaydır. İkame yöntemini çözme adımları burada verilmiştir.
- Basit formlara sahip bir denklem bulun. Basitleştirilmiş denklemlerin katsayısı 1 veya 0'dır.
- Bir değişkeni diğer iki değişken şeklinde ifade edin. Örneğin, x değişkeni y veya z cinsinden ifade edilir.
- İkinci adımda elde edilen değişken değerleri SPLTV'deki diğer denklemlerle değiştirin, böylece iki değişkenli bir doğrusal denklem sistemi (SPLDV) elde edilir.
- Üçüncü adımda elde edilen SPLDV yerleşimini belirleyin.
- Tüm bilinmeyen değişkenlerin değerlerini belirleyin.
Aşağıdaki örnek problemi yapalım. Aşağıdaki üç değişkenli doğrusal denklem sistemi için çözüm kümesini bulun.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
İlk olarak, denklem (1) 'i, z = -x - y - 6'yı denklem (4)' e dönüştürebiliriz. Ardından, denklem (4) 'ü aşağıdaki gibi denklem (2) ile değiştirebiliriz.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Bundan sonra, denklem (4) 'ü aşağıdaki gibi denklem (3) ile değiştirebiliriz.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
X = -5 ve y = -3 için değerlere sahibiz. Aşağıdaki gibi z değerini elde etmek için denklem (4) 'e koyabiliriz.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3-6
z = 2
Öyleyse, bir dizi çözümümüz var (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Eliminasyon Yöntemi
Eleme yöntemi, iki denklemdeki değişkenlerden birini ortadan kaldırarak doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemidir. Bu yöntem, yalnızca bir değişken kalana kadar gerçekleştirilir.
Eliminasyon yöntemi, üç değişkenli doğrusal denklemlerin tüm sistemlerinde kullanılabilir. Ancak bu yöntem uzun bir adım gerektirir çünkü her adım yalnızca bir değişkeni ortadan kaldırabilir. SPLTV yerleşim setini belirlemek için minimum 3 eleme yöntemi gereklidir. Bu yöntem, ikame yöntemiyle birleştirildiğinde daha kolaydır.
Eleme yöntemini kullanarak tamamlama adımları aşağıdaki gibidir.
- SPLTV'deki üç benzerliği gözlemleyin. İki denklem aynı değişken üzerinde aynı katsayıya sahipse, değişkenin katsayısı 0 olacak şekilde iki denklemi çıkarın veya ekleyin.
- Hiçbir değişken aynı katsayıya sahip değilse, her iki denklemi de bir değişkenin katsayısını her iki denklemde aynı yapan sayıyla çarpın. Değişkenin katsayısı 0 olacak şekilde iki denklemi çıkarın veya toplayın.
- Diğer denklem çiftleri için 2. adımı tekrarlayın. Bu adımda atlanan değişken, 2. adımda atlanan değişkenle aynı olmalıdır.
- Önceki adımda iki yeni denklem elde ettikten sonra, iki değişkenli doğrusal denklem sistemi (SPLDV) çözüm yöntemini kullanarak iki denklem için çözüm kümesini belirleyin.
- Üçüncü değişkenin değeri elde edilecek şekilde 4. adımda elde edilen iki değişkenin değerini SPLTV denklemlerinden birinde değiştirin.
Aşağıdaki problemde eleme yöntemini kullanmaya çalışacağız. SPLTV çözüm setini belirleyin!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV, z değişkeni kaldırılarak belirlenebilir. İlk olarak, elde etmek için (1) ve (2) denklemlerini toplayın:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Ardından, denklem (2) 'de 2'yi ve denklem (1)' de 1'i çarparak şunu elde edin:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
X değerini bildikten sonra, aşağıdaki gibi denklem (4) ile değiştirin.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Denklemdeki (2) x ve y değerlerini aşağıdaki gibi değiştirin.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Böylece SPLTV çözümleri (x, y, z) kümesi (5, 3, -1) olur.
