Matematiksel mantık, matematiksel mantık çalışmalarını ve bu çalışmanın matematik dışındaki diğer alanlara uygulanmasını içeren bir mantık ve matematik dalıdır. Matematiksel mantık, bilgisayar bilimi ve felsefi mantıkla yakından ilişkilidir, ana temalar biçimsel mantığın ifade gücü ve biçimsel ispat sistemlerinin tümdengelim gücüdür. Matematiksel mantık genellikle küme teorisi, model teorisi, özyineleme teorisi, ispat teorisi ve yapıcı matematikten dallara ayrılır. Bu alanlar aynı temel mantık sonuçlarına sahiptir.
Beyan
Matematiksel mantıkta, bir ifadenin değerini belirlemeyi öğreneceğiz. İfadenin kendisi, gerçek bir değere veya yanlış olan belirli bir değere sahip olduğu kesin olan, ancak ikisi birden olmayan bir cümledir.
Kapalı ifade ve açık ifade
İfadeler daha sonra kapalı ifadeler (kapalı cümleler) ve açık ifadeler (açık cümleler) olmak üzere iki türe ayrılır . Kapalı bir ifade, doğruluk değeri kesin olan bir ifadedir, açık bir ifade ise doğruluk değeri belirsiz olan bir ifadedir.
İfade örnekleri:
- 9 tek bir sayıdır >> bu ifade doğrudur
- Cakarta Hindistan'ın başkentidir >> bu ifade yanlıştır
Matematiksel mantıkta ifadeler p, q veya r harfleriyle temsil edilir.
Açık cümleler, doğruluk değeri olmayan matematiksel cümlelerdir. Bu cümle her zaman değişkenler içerir.
Açık cümle örnekleri:
- A yağmur şehri olarak bilinir
- Atha hastalık yüzünden okula gitmiyor
Doğruluk değerinin tespit edilebildiği kapalı cümlelerin aksine, açık cümleler hala sorgulanabilir, doğru ve yanlıştır. Dolayısıyla bu cümle bir ifade olarak söylenemez.
Açık bir cümle, cümledeki değişkenler bir değerle değiştirilirse, cümlenin bir doğruluk değerine sahip olması durumunda bir ifadeye dönüştürülebilir.
Misal:
Yağmur şehri olarak bilinen bir açık cümledir, oysa
Bogor yağmur şehri olarak bilinir bir cümle
Olumsuzluk
Bir ifadenin ne olduğunu ve açık bir cümlenin ne olduğunu anladıktan sonra, bir sonraki adım, olumsuzlamayı tartışmaktır.
İnkar veya inkar / inkar olarak da adlandırılan, verileni reddeden bir ifadedir. Reddedilen ifadenin önüne 'Bu doğru değil ...' eklenerek bir ifade belleği oluşturulabilir. Bu, ~ ile gösterilir.
P'nin doğru olduğunu, sonra ~ p'nin yanlış olduğunu söyleyin. Tam tersi, eğer p yanlışsa, o zaman ~ p doğrudur.
İfadenin Olumsuzluğuna Örnek:
- Jakarta, Malezya'nın başkentidir
Jakarta, Malezya'nın başkenti değil
- 9 tek sayıdır
9 tek bir sayı değil
Bileşik İfadeler
Daha sonra ifade, bu durumda birkaç türe ayrılan bileşik ifadelere bölünür:
- Bağlaç
- Ayrılma
- Çıkarımlar
- Biimplication
1. Bağlantılar
Birlikte (Ʌ) ile gösterilir, bağlantılı "ve" sahip bir bileşiği, bir ifadedir. Değişkenler doğruysa doğru, değişkenlerden biri yanlışsa yanlış olacaktır.
Misal:
s: Cakarta dünyanın başkentidir (gerçek değeri olan ifade)
q: Cakarta bir büyükşehir şehridir (gerçek değeri olan ifade)
p ^ q: Cakarta dünyanın başkenti ve bir metropol şehridir (gerçek değerlere sahip ifade)
2. Ayrılma
(V) ile gösterilen Disjunction , "veya" bağlacı kullanılarak iki tek ifadenin birleştirilmesiyle oluşturulan bileşik bir ifadedir. İfadelerden biri doğru ve her iki ifade de yanlışsa yanlışsa ayrılma doğrudur.
Misal:
s: Cakarta dünyanın başkentidir (gerçek değeri olan ifade)
q: Cakarta bir öğrenci şehridir (yanlış değer içeren ifade)
pVq: Cakarta dünyanın başkenti veya öğrenci şehridir (gerçek değeri olan ifade)
3. Çıkarımlar
Bunun anlamı , "eğer p ise, sonra q" cümlesinde ifade edilen p ve q adlı iki sorudur. Bu, p -> q ile gösterilir.
Misal:
p: Atha çalışmakta gayretlidir (gerçek değeri olan ifade)
q: Atha mükemmel bir skorla geçti (gerçek değerin ifadesi)
p-> q: Atha çalışmakta gayretli ise, o zaman Atha mükemmel bir puanla geçer (ifade doğrudur)
4. Biimplications
Biimplication , "... if ve only if" cümlesiyle ifade edilen bileşik bir ifadedir. Bu, pq ile gösterilir, "p eğer ve ancak q ise" okunur.
Misal:
p: 1 + 1 = 2 (ifade doğrudur)
q: 2 tek sayıdır (yanlış ifade)
pq: 1 + 1 = 2 ancak ve ancak 2 tek bir sayı ise (yanlış değer ifadesi)
